Distribucion Binomial Negativa Ejercicios Resueltos

La distribución binomial negativa es una herramienta estadística muy útil para el cálculo de probabilidades en situaciones donde se necesita conocer cuántos ensayos se necesitan para obtener un número determinado de éxitos. En este artículo, se presentarán varios ejercicios resueltos para comprender mejor esta distribución.

Ejercicio 1

Supongamos que se lanza un dado y se cuenta el número de veces que se necesita lanzar hasta obtener tres números pares. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten seis lanzamientos?

Solución:

1. Cada lanzamiento del dado es un ensayo independiente.
2. El éxito se define como obtener un número par.
3. La probabilidad de éxito es de 3/6 = 0.5.
4. La probabilidad de fracaso es de 1 – 0.5 = 0.5.
5. Se necesitan tres éxitos (tres números pares).
6. La distribución binomial negativa se define como el número de ensayos necesarios para obtener un número determinado de éxitos.
7. La fórmula para calcular la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos es:

P(X = k) = (k - 1)C(r - 1) p^r (1 - p)^(k - r)

8. Donde k es el número de ensayos necesarios para obtener r éxitos, p es la probabilidad de éxito y (1 - p) es la probabilidad de fracaso.
9. En este ejercicio, se necesita obtener tres éxitos (tres números pares) en seis lanzamientos.
10. Por lo tanto, k = 6 y r = 3.
11. Sustituyendo los valores en la fórmula, se tiene:

P(X = 6) = (6 - 1)C(3 - 1) (0.5)^3 (1 - 0.5)^(6 - 3) = 0.2344

12. Por lo tanto, la probabilidad de que se necesiten seis lanzamientos para obtener tres números pares es de 0.2344.

Ejercicio 2

Supongamos que se tiene una urna con 10 bolas, de las cuales 3 son rojas y 7 son negras. Se extraen bolas de la urna hasta obtener las 3 bolas rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten 5 extracciones?

Solución:

1. Cada extracción de la bola es un ensayo independiente.
2. El éxito se define como extraer una bola roja.
3. La probabilidad de éxito es de 3/10.
4. La probabilidad de fracaso es de 1 – 3/10 = 7/10.
5. Se necesitan tres éxitos (tres bolas rojas) en cinco extracciones.
6. La distribución binomial negativa se define como el número de extracciones necesarias para obtener un número determinado de éxitos.
7. La fórmula para calcular la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos es:

P(X = k) = (k - 1)C(r - 1) p^r (1 - p)^(k - r)

8. Donde k es el número de extracciones necesarias para obtener r éxitos, p es la probabilidad de éxito y (1 - p) es la probabilidad de fracaso.
9. En este ejercicio, se necesitan tres éxitos (tres bolas rojas) en cinco extracciones.
10. Por lo tanto, k = 5 y r = 3.
11. Sustituyendo los valores en la fórmula, se tiene:

P(X = 5) = (5 - 1)C(3 - 1) (3/10)^3 (7/10)^(5 - 3) = 0.1323

12. Por lo tanto, la probabilidad de que se necesiten cinco extracciones para obtener las tres bolas rojas es de 0.1323.

Ejercicio 3

Supongamos que se tiene una máquina que produce piezas de un producto. La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es de 0.1. Se inspeccionan las piezas una por una hasta encontrar las dos primeras piezas defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten 15 piezas inspeccionadas?

Solución:

1. Cada inspección de la pieza es un ensayo independiente.
2. El éxito se define como encontrar una pieza defectuosa.
3. La probabilidad de éxito es de 0.1.
4. La probabilidad de fracaso es de 0.9.
5. Se necesitan dos éxitos (dos piezas defectuosas) en 15 inspecciones.
6. La distribución binomial negativa se define como el número de inspecciones necesarias para obtener un número determinado de éxitos.
7. La fórmula para calcular la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos es:

P(X = k) = (k - 1)C(r - 1) p^r (1 - p)^(k - r)

8. Donde k es el número de inspecciones necesarias para obtener r éxitos, p es la probabilidad de éxito y (1 - p) es la probabilidad de fracaso.
9. En este ejercicio, se necesitan dos éxitos (dos piezas defectuosas) en 15 inspecciones.
10. Por lo tanto, k = 15 y r = 2.
11. Sustituyendo los valores en la fórmula, se tiene:

P(X = 15) = (15 - 1)C(2 - 1) (0.1)^2 (0.9)^(15 - 2) = 0.1227

12. Por lo tanto, la probabilidad de que se necesiten 15 inspecciones para encontrar las dos primeras piezas defectuosas es de 0.1227.

Conclusiones

En este artículo se han presentado ejercicios resueltos para comprender la distribución binomial negativa y su aplicación en el cálculo de probabilidades. Se ha demostrado que la fórmula para calcular la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos en un número determinado de ensayos es P(X = k) = (k - 1)C(r - 1) p^r (1 - p)^(k - r), donde k es el número de ensayos necesarios para obtener r éxitos, p es la probabilidad de éxito y (1 - p) es la probabilidad de fracaso.

Es importante comprender la distribución binomial negativa para poder aplicarla en situaciones reales y tomar decisiones informadas basadas en probabilidades. Los ejercicios resueltos presentados en este artículo son solo algunos ejemplos de su aplicación y pueden ser útiles para practicar y mejorar las habilidades en estadística.