Ecuaciones Diferenciales No Exactas Ejercicios Resueltos

Si estás estudiando matemáticas, es probable que te hayas encontrado con las ecuaciones diferenciales no exactas. Aunque pueden parecer complicadas al principio, no son tan difíciles de entender una vez que las descompones en partes más pequeñas. En este artículo, te proporcionaremos una guía detallada para resolver ecuaciones diferenciales no exactas y algunos ejercicios resueltos para que puedas practicar.

¿Qué son las ecuaciones diferenciales no exactas?

Las ecuaciones diferenciales son aquellas que involucran una o más derivadas de una función. Las ecuaciones diferenciales exactas son aquellas en las que puedes encontrar una función que es la solución exacta de la ecuación.

Por otro lado, las ecuaciones diferenciales no exactas son aquellas en las que no puedes encontrar una función que sea la solución exacta de la ecuación. En cambio, debes encontrar una solución aproximada utilizando técnicas de integración.

Cómo resolver ecuaciones diferenciales no exactas

Para resolver ecuaciones diferenciales no exactas, debes seguir los siguientes pasos:

1. Identifica qué tipo de ecuación diferencial estás resolviendo – separable, lineal, homogénea, etc.
2. Intenta convertir la ecuación en una ecuación exacta si es posible.
3. Si la ecuación no es exacta, utiliza una de las siguientes técnicas de integración:
• Multiplicadores integrantes
• Integración por partes
• Cambio de variable
4. Resuelve la ecuación utilizando la técnica de integración adecuada.
5. Verifica tu solución.

Ejercicios resueltos

Ahora que sabes cómo resolver ecuaciones diferenciales no exactas, es hora de poner en práctica tus habilidades. Aquí hay algunos ejercicios resueltos:

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente ecuación diferencial no exacta:

(2x + y)dx + (x + y)dy = 0

Solución:

Primero, debemos verificar que esta ecuación no es exacta. Si intentamos encontrar una función u(x,y) tal que:

du/dx = (2x + y)

du/dy = (x + y)

y luego verificamos si se cumple la igualdad:

d(du/dy)/dx = d(du/dx)/dy

Si esta igualdad se cumple, entonces la ecuación es exacta. Pero en este caso, no se cumple, lo que significa que debemos utilizar una técnica de integración.

Podemos utilizar el método de los multiplicadores integrantes. Primero, multipliquemos toda la ecuación por un factor integrante:

e^(y/x) (2x + y)dx + e^(y/x) (x + y)dy = 0

Luego, podemos verificar que la ecuación se ha vuelto exacta:

du/dx = e^(y/x) (2x + y)

du/dy = e^(y/x) (x + y)

d(du/dy)/dx = e^(y/x) (2x + y)/x^2

d(du/dx)/dy = e^(y/x) (x + y)/x^2

Como estas dos expresiones son iguales, la ecuación ahora es exacta.

Ahora, debemos encontrar una función u(x,y) tal que:

du/dx = e^(y/x) (2x + y)

du/dy = e^(y/x) (x + y)

Para encontrar u(x,y), podemos integrar la primera ecuación con respecto a x:

u = ∫ e^(y/x) (2x + y)dx = yx + 2x^2 e^(y/x) + C(y)

Donde C(y) es una constante de integración que depende solo de y. Luego, podemos derivar esta expresión con respecto a y para obtener:

du/dy = x + C'(y)

Donde C'(y) es la derivada de C(y) con respecto a y. Ahora, podemos igualar esta expresión con la segunda ecuación:

x + C'(y) = e^(y/x) (x + y)

Podemos simplificar esta ecuación para obtener:

C'(y) = ye^(-y/x)

Integrando esta expresión con respecto a y, podemos encontrar C(y):

C(y) = -x e^(-y/x) + D

Donde D es una constante de integración. Ahora, podemos reemplazar C(y) en la expresión para u(x,y) que encontramos anteriormente para obtener:

u(x,y) = yx + 2x^2 e^(y/x) – x e^(-y/x) + D

Esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Ejercicio 2

Resuelve la siguiente ecuación diferencial no exacta:

(2x + y^2)dx + 2xydy = 0

Solución:

Primero, debemos verificar que esta ecuación no es exacta. Si intentamos encontrar una función u(x,y) tal que:

du/dx = (2x + y^2)

du/dy = 2xy

y luego verificamos si se cumple la igualdad:

d(du/dy)/dx = d(du/dx)/dy

Si esta igualdad se cumple, entonces la ecuación es exacta. Pero en este caso, no se cumple, lo que significa que debemos utilizar una técnica de integración.

Podemos utilizar el método de los multiplicadores integrantes. Primero, multipliquemos toda la ecuación por un factor integrante:

x e^(y^2/x) (2x + y^2)dx + x e^(y^2/x) (2xy)dy = 0

Luego, podemos verificar que la ecuación se ha vuelto exacta:

du/dx = x e^(y^2/x) (2x + y^2)

du/dy = x e^(y^2/x) (2xy)

d(du/dy)/dx = e^(y^2/x) (2x^2 + y^2)/x^2

d(du/dx)/dy = e^(y^2/x) (2x^2 + y^2)/x^2

Como estas dos expresiones son iguales, la ecuación ahora es exacta.

Ahora, debemos encontrar una función u(x,y) tal que:

du/dx = x e^(y^2/x) (2x + y^2)

du/dy = x e^(y^2/x) (2xy)

Para encontrar u(x,y), podemos integrar la primera ecuación con respecto a x:

u = ∫ x e^(y^2/x) (2x + y^2)dx = x^2 e^(y^2/x) + C(y)

Donde C(y) es una constante de integración que depende solo de y. Luego, podemos derivar esta expresión con respecto a y para obtener:

du/dy = 2xy e^(y^2/x) + C'(y)

Donde C'(y) es la derivada de C(y) con respecto a y. Ahora, podemos igualar esta expresión con la segunda ecuación:

2xy e^(y^2/x) + C'(y) = x e^(y^2/x) (2xy)

Podemos simplificar esta ecuación para obtener:

C'(y) = -2xy e^(-y^2/x)

Integrando esta expresión con respecto a y, podemos encontrar C(y):

C(y) = -∫ 2xy e^(-y^2/x)dy = -x e^(-y^2/x) + D

Donde D es una constante de integración. Ahora, podemos reemplazar C(y) en la expresión para u(x,y) que encontramos anteriormente para obtener:

u(x,y) = x^2 e^(y^2/x) – x e^(-y^2/x) + D

Esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Conclusiones

Las ecuaciones diferenciales no exactas pueden parecer intimidantes al principio, pero con un poco de práctica, puedes convertirte en un experto en resolverlas. Recuerda seguir los pasos adecuados y utilizar las técnicas de integración correctas para encontrar una solución aproximada. Y no te olvides de verificar tu solución al final. ¡Buena suerte!