Fundamentos de la geometria analitica

Fundamentos de la geometria analitica

Geometría analítica del plano

La geometría analítica es una combinación de álgebra y geometría. En la geometría analítica se trata de presentar las figuras geométricas mediante ecuaciones algebraicas en un sistema de coordenadas bidimensional o en un espacio tridimensional. La geometría analítica incluye las fórmulas básicas de la geometría de coordenadas, las ecuaciones de una línea y de las curvas, la traslación y la rotación de los ejes y los conceptos de la geometría tridimensional.

La geometría analítica es una importante rama de las matemáticas, que ayuda a presentar las figuras geométricas en un plano bidimensional y a aprender las propiedades de estas figuras. Aquí trataremos de conocer el plano de coordenadas y las coordenadas de un punto, para obtener una comprensión inicial de la geometría analítica.

Un plano cartesiano divide el espacio plano en dos dimensiones y es útil para localizar fácilmente los puntos. También se denomina plano de coordenadas. Los dos ejes del plano de coordenadas son el eje horizontal x y el eje vertical y. Estos ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes, y el punto de intersección de estos ejes es el origen (0, 0). Además, cualquier punto del plano de coordenadas se denomina punto (x, y), donde el valor x es la posición del punto con referencia al eje x, y el valor y es la posición del punto con referencia al eje y.

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Preguntas y respuestas de geometría analítica

En lo que sigue, utilizamos la notación \((x_1,y_1)\Npara representar un punto en el sistema de coordenadas \((x,y)\Ntambién llamado el plano \N(x\Ny\Ny). Anteriormente, utilizamos \((a,b)\Npara representar un intervalo abierto. La notación a menudo se reutiliza y se abusa en matemáticas, pero afortunadamente, suele quedar claro por el contexto lo que queremos decir.

En el sistema de coordenadas \((x,y)\Nnormalmente escribimos el eje \Nhorizontal, con números positivos a la derecha del origen, y el eje \Nvertical, con números positivos por encima del origen. Es decir, a menos que se indique lo contrario, tomamos como “hacia la derecha” la dirección positiva de las x y como “hacia arriba” la dirección positiva de las y. En una situación puramente matemática, normalmente elegimos la misma escala para los ejes \(x\)- y \(y\)-. Por ejemplo, la recta que une el origen con el punto \((a,a)\\Nhace un ángulo de 45\({}^\circ\) con el eje \(x\)-(y también con el eje \(y)-).

Supongamos que dejamos caer una moneda desde una ventana y queremos estudiar cómo cambia su altura sobre el suelo de un segundo a otro. Es natural dejar que la letra \(t\) denote el tiempo (el número de segundos desde que se soltó el objeto) y que la letra \(h\) denote la altura. Para cada \(t\) (digamos, a intervalos de un segundo) se tiene una altura correspondiente \(h\text{.}\) Esta información puede ser tabulada, y luego trazada en el plano de coordenadas \((t,h)\\Nde la figura siguiente.

Fórmulas de geometría analítica pdf

Una rama de la geometría. Los conceptos fundamentales de la geometría analítica son los elementos geométricos más simples (puntos, rectas, planos, curvas de segundo orden y superficies). Los principales medios de estudio de la geometría analítica son el método de las coordenadas y los métodos del álgebra elemental. La génesis del método de coordenadas está estrechamente ligada al intenso desarrollo de la astronomía, la mecánica y la tecnología en el siglo XVII. En su Géometrie, R. Descartes (1637) hizo una exposición clara y exhaustiva de este método y de los fundamentos de la geometría analítica. P. Fermat, contemporáneo de Descartes, también conocía los principios de este método. El desarrollo posterior de la geometría analítica se debe a los estudios de G. Leibniz, I. Newton y, sobre todo, L. Euler. Las herramientas de la geometría analítica fueron utilizadas por J.L. Lagrange en su construcción de la mecánica analítica y por G. Monge en la geometría diferencial. En la actualidad, la geometría analítica no tiene importancia como rama independiente de la ciencia, pero sus métodos se emplean ampliamente en diversos campos de las matemáticas, la mecánica, la física y otras ciencias.

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Libro de geometría analítica

La geometría analítica se utiliza en la física y la ingeniería, y también en la aviación, la cohetería, la ciencia espacial y los vuelos espaciales. Es la base de la mayoría de los campos modernos de la geometría, incluyendo la geometría algebraica, diferencial, discreta y computacional.

Por lo general, el sistema de coordenadas cartesianas se aplica para manipular ecuaciones de planos, rectas y círculos, a menudo en dos y a veces en tres dimensiones. Geométricamente, se estudia el plano euclidiano (dos dimensiones) y el espacio euclidiano (tres dimensiones). Tal y como se enseña en los libros de texto, la geometría analítica puede explicarse de forma más sencilla: se ocupa de definir y representar las formas geométricas de forma numérica y de extraer información numérica de las definiciones y representaciones numéricas de las formas. Que el álgebra de los números reales pueda emplearse para obtener resultados sobre el continuo lineal de la geometría se basa en el axioma de Cantor-Dedekind.

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El matemático griego Menaechmus resolvió problemas y demostró teoremas utilizando un método muy parecido al uso de las coordenadas y a veces se ha mantenido que había introducido la geometría analítica[1].

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