Integracion Por Cambio De Variable Ejercicios Resueltos

La integración por cambio de variable es una técnica muy común en el cálculo integral. Se utiliza para resolver funciones complejas y simplificar su integración. En este artículo, te proporcionaremos una serie de ejercicios resueltos para que puedas practicar y comprender mejor esta técnica.

Ejercicio 1

Integra la siguiente función:

∫ (x^2 + 1)^3 dx

Solución:

Primero, hacemos el cambio de variable:

u = x^2 + 1

du/dx = 2x

dx = du/2x

Sustituyendo en la integral:

∫ (x^2 + 1)^3 dx = ∫ u^3 * (du/2x)

∫ (x^2 + 1)^3 dx = (1/2) ∫ u^3 * (1/x) du

Integrando la última expresión, tenemos:

(1/2) ∫ u^3 * (1/x) du = (1/2) ∫ u^2 du = (1/2) * (u^3/3) + C

Sustituyendo de nuevo el valor de u:

(1/2) * (u^3/3) + C = (1/2) * ((x^2 + 1)^3/3) + C

Por lo tanto, la solución es:

∫ (x^2 + 1)^3 dx = (1/2) * ((x^2 + 1)^3/3) + C

Ejercicio 2

Integra la siguiente función:

∫ x * cos(x^2) dx

Solución:

Haciendo el cambio de variable:

u = x^2

du/dx = 2x

dx = du/2x

Sustituyendo en la integral:

∫ x * cos(x^2) dx = (1/2) ∫ cos(u) du

Integrando la última expresión, tenemos:

(1/2) ∫ cos(u) du = (1/2) * sin(u) + C

Sustituyendo de nuevo el valor de u:

(1/2) * sin(u) + C = (1/2) * sin(x^2) + C

Por lo tanto, la solución es:

∫ x * cos(x^2) dx = (1/2) * sin(x^2) + C

Ejercicio 3

Integra la siguiente función:

∫ (1 + x)^4 dx

Solución:

Haciendo el cambio de variable:

u = 1 + x

du/dx = 1

dx = du

Sustituyendo en la integral:

∫ (1 + x)^4 dx = ∫ u^4 du

Integrando la última expresión, tenemos:

∫ u^4 du = (u^5/5) + C

Sustituyendo de nuevo el valor de u:

(u^5/5) + C = ((1 + x)^5/5) + C

Por lo tanto, la solución es:

∫ (1 + x)^4 dx = ((1 + x)^5/5) + C

Conclusiones

La integración por cambio de variable es una técnica muy útil para resolver funciones complejas de manera más sencilla. En este artículo, hemos proporcionado una serie de ejercicios resueltos para que puedas practicar y comprender mejor esta técnica. Recuerda que la práctica es clave para dominar cualquier técnica matemática.